Bài 45* trang 163 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) các đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Vẽ đường tròn \((O)\) có đường kính \(AH.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Điểm \(E\) nằm trên đường tròn \((O);\) 

\(b)\) \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\)

Tam giác \(AEH\) vuông tại \(E\) có \(EO\) là đường trung tuyến nên:

\( EO = OA = OH =\displaystyle{{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm \(E\) nằm trên đường tròn \(\left( \displaystyle{O;{{AH} \over 2}} \right)\)

\(b)\) Ta có: \(OH = OE\)

suy ra tam giác \(OHE\) cân tại \(O\)

suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\)       \( (1)\)

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh)  \((2)\)

Trong tam giác \(BDH\) ta có:

\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) \((3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra:

\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \)   \((4)\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AD ⊥ BC\) nên \(BD = CD\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) có \(ED\) là đường trung tuyến nên:

\(ED = BD = \displaystyle{{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác \(BDE\) cân tại \(D\)

Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\)     \((5)\)

Từ \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)

Suy ra: \(DE ⊥ EO.\) Vậy \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)