Bài 42 trang 163 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O),\) điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm \(B\) và \(C\) thuộc đường tròn \((O)\) sao cho \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Lời giải chi tiết

* Phân tích

Giả sử tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có: \(AB ⊥ OB\) \(\widehat {ABO} = 90^\circ \)

\(AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)

Tam giác \(ABO\) có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO\) và tam giác \(ACO\) có \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO.\)

Suy ra \(B\) và \(C\) là giao điểm của đường tròn đường kính \(AO\) với đường tròn \((O).\)

*  Cách dựng

−  Dựng \(I\) là trung điểm của \(OA.\)

−  Dựng đường tròn \(( I; IO)\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B\) và \(C.\)

−  Nối \(AB, AC\) ta được hai tiếp tuyến cần dựng.

* Chứng minh

Tam giác \(ABO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên: \(\widehat {ABO} = 90^\circ \)

Suy ra: \(AB ⊥ OB\) tại \(B\) nên  \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Tam giác \(ACO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên : \(\widehat {ACO} = 90^\circ \)

Suy ra: \(AC ⊥ OC\) tại \(C\) nên \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

*  Biện luận

Luôn dựng được đường tròn tâm \(I,\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) và luôn có \(AB, AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)