Giải bài 44 trang 61 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng 50 m (Hình 23). Xác định kích thước vườn hoa hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là 140 m.

Lời giải chi tiết

Đặt độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \(x\)(m) (\(0 < x < 50\)).

Độ dài đường chéo hình chữ nhật = Đường kính đường tròn = 50m.

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật đó là \(\sqrt {{{50}^2} - {x^2}}  = \sqrt {2500 - {x^2}} \) (m)

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là: \(2\left( {\sqrt {2500 - {x^2}}  + x} \right) = 140\) (m)

Ta có phương trình: \(2\left( {\sqrt {2500 - {x^2}}  + x} \right) = 140 \Leftrightarrow \sqrt {2500 - {x^2}}  + x = 70 \Rightarrow \sqrt {2500 - {x^2}}  = 70 - x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\70 - x \ge 0\\2500 - {x^2} = {\left( {70 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 70\\2500 - {x^2} = {x^2} - 140x + {70^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 70\\2{x^2} - 140x + 2400 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 70\\\left[ \begin{array}{l}x = 30\\x = 40\;\end{array} \right.\quad \end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(x = 40\) thì độ dài cạnh còn lại là 30 (m) và ngược lại.

Vậy kích thước vườn hoa là 30 x 40 (m)