Bài 41 trang 88 Vở bài tập toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AD\) đồng thời là đường phân giác. Trên tia \(AD\) lấy điểm \({A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\)

Ta sẽ chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Xét hai tam giác \(ADC\) và \({A_1}DB\). Ta có \(DC = DB\) (vì \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\)), \(AD = D{A_1}\) (theo cách lấy điểm \({A_1}\)), \( \widehat{BDA_1} = \widehat{CDA}\) (hai góc đối đỉnh). Vậy \(∆ADC =  ∆{A_1}DB\) (c.g.c). Suy ra \( \widehat{DAC} = \widehat{DA_1B}\)   (1), \(AC=BA_1\)   (2).

Xét tam giác \(BA{A_1}\). Ta có \( \widehat{BAA_1} = \widehat{BA_1A}\) vì theo (1) \( \widehat{BA_1D} = \widehat{DAC}\) và do \(AD\) là đường phân giác nên \( \widehat{DAC} = \widehat{BAA_1}\). Suy ra tam giác \(BA{A_1}\) cân tại \(B\), do đó \(AB = {A_1}B\)           (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(AB = AC\).

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)