Giải bài 3.8 trang 42 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng \(S{70^o}E\) với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

LG a

Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình mô tả đường đi từ cảng A, đến nơi mà động cơ hỏng (kí hiệu là B) và hòn đảo (kí hiệu là C) nơi tàu neo đậu.

Bước 2: Tính góc \(\widehat {ABC}\), quãng đường tàu đi được sau 90 phút () và quãng đường tàu trôi tự do ().

Bước 3: Tính khoảng cách từ cảng tới nơi tàu neo đậu (đoạn AC) bằng cách áp dụng định lí cosin tại đỉnh B.

Lời giải chi tiết:

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

 Ban đầu tàu di chuyển theo hướng \(S{70^o}E\) nên \(\widehat {BAS} = {70^o}\). Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {BAS} = {110^o}\)

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70.1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8.2 = 16 (km) hay a = 16.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {b^2} = {16^2} + {105^2} - 2.16.105.\cos {110^o} \approx 12150,632\\ \Rightarrow b \approx 110,23.\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 110,23 km.

LG b

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Trên sơ đồ: xác định góc nào là hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Bước 2: Tính sin\(\widehat {BAC}\) dựa vào định lí sin

Bước 3: Suy ra góc cần tính và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là \(S{\alpha ^o}E\) với \({\alpha ^o} = \widehat {CAS}\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow \sin A = \frac{{a.\sin B}}{b}\)

Mà \(\widehat B = {110^o}\); \(b \approx 110,23\); a = 16.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin A = \frac{{16.\sin {{110}^o}}}{{110,23}} \approx 0,136\\ \Rightarrow \widehat A \approx 7,{84^o}(do\;\widehat A < {90^o})\end{array}\)

\( \Rightarrow {\alpha ^o} \approx {70^o} - 7,{84^o} = 62,{16^o}.\)

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là \(S62,{16^o}E\).