Bài 37 trang 162 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình thang \(ABCD\) có \(AB // CD,\) đường trung bình là \(MN.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN,\) đường thẳng bất kỳ đi qua \(I\) cắt \(AB\) tại \(P\) và \(CD\) tại \(Q\)

Ta có hai hình thang \(APQD\) và \(BPQC\) có chung đường cao.

\(MI\) là đường trung bình của hình thang \(APQD:\)

\( \Rightarrow MI = \dfrac{1} {2}\left( {AP + QD} \right)\)

\(IN\) là đường trung bình của hình thang \(BPQC :\)

\( \Rightarrow IN =  \dfrac{1} {2}\left( {BP + QC} \right)\)

\(S_{APQD}=\dfrac{1}{2}\ \left( {AP + QD} \right).AH\) \(=MI.AH\) \((1)\)

\(S_{BPQC}=\dfrac{1}{2}\ \left( {BP + QC} \right).AH\) \(=NI.AH\) \((2)\)

\(IM = IN\) (gt) \((3)\)

Từ \((1),\, (2)\) và \((3)\) suy ra : \({S_{APQD}} = {S_{BPQC}}\) không phụ thuộc vào \(P\) và \(Q\)