Bài 3.6 trang 130 SBT hình học 11

Giải bài 3.6 trang 130 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành...


Đề bài

Trên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha  \right)\) cho hình bình hành \(\displaystyle {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Về một phía đối với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha  \right)\) ta dựng hình bình hành \(\displaystyle {A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\). Trên các đoạn \(\displaystyle {A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2},{D_1}{D_2}\) ta lần lượt lấy các điểm \(A, B, C, D\) sao cho

\(\displaystyle {{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = {{B{B_1}} \over {B{B_2}}} = {{C{C_1}} \over {C{C_2}}} = {{D{D_1}} \over {D{D_2}}} = 3\) 

Chứng minh rằng tứ giác \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Lấy điểm \(O\) cố định.

- Điều kiện cần và đủ để \(ABCD\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}}\)

(theo bài tập 3.2)

Lời giải chi tiết

Lấy điểm \(O\) cố định rồi đặt \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{a_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{b_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{c_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow {{d_1}} \). Điều kiện cần và đủ để tứ giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) ( theo bài tập 3.2)   (1)

Đặt \(\overrightarrow {O{A_2}}  = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}}  = \overrightarrow {{b_2}},\) \(\overrightarrow {O{C_2}}  = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}}  = \overrightarrow {{d_2}} \).

Điều kiện cần và đủ để tứ giác \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \)     (2)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow d \).

Ta có \({{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}}  =  - 3\overrightarrow {A{A_2}} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OA} = 3\left( {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OA} } \right) \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}} - \overrightarrow a = - 3\left( {\overrightarrow {{a_2}} - \overrightarrow a } \right) \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow a = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}} + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) \cr} \)

Tương tự: \(\overrightarrow b  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right)\),

\(\overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right),\overrightarrow {\,\,d}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

\(= {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

Và:

\(\eqalign{
& \overrightarrow b + \overrightarrow d = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}} + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr 
& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr}\)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) và \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \) nên suy ra :

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow d  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \)

⟺ tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

 

Bài giải tiếp theo



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến