Bài 3.1 trang 129 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {AO'} \) theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho.

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {D'C'}  + \overrightarrow {D'A'}  = \overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết

a) *\(\displaystyle \overrightarrow {AO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A'C'} \) \(\displaystyle = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {AB}  + {1 \over 2}\overrightarrow {B{\rm{D}}} ,....\) 

*\(\displaystyle \overrightarrow {AO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} \)

\(\displaystyle \eqalign{
& = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} } \right) = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} } \right) \cr 
& = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + {1 \over 2}\overrightarrow {B'D'} \cr 
& = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + {1 \over 2}\overrightarrow {B'D'} ,... \cr} \)

b) \(\displaystyle \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D'C'}  + \overrightarrow {D'A'}\) \(\displaystyle   = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB} \)

(vì \(\displaystyle \overrightarrow {D'C'}  = \overrightarrow {DC} \) và \(\displaystyle \overrightarrow {D'A'}  = \overrightarrow {CB} \)) nên \(\displaystyle \overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {D'C'}  + \overrightarrow {D'A'}  = \overrightarrow {AB} \).