Bài 3.31 trang 151 SBT hình học 11

Đề bài

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, \(\left( \alpha  \right)\) cắt SC tại I.

a) Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và \(B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha  \right)\).

c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với cạnh SC. Ta có \(\left( \alpha  \right) \bot SC,AI \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow SC \bot AI\). Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và \(AI \subset \left( \alpha  \right)\), nên K là giao điểm của SO với \(\left( \alpha  \right)\).

b) Ta có

\(\left. \matrix{
B{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr 
B{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)\) 

\( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot SC\)

Mặt khác \(B{\rm{D}} \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\) nên \(\left( {SB{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Vì \(B{\rm{D}} \bot SC\) và \(\left( \alpha  \right) \bot SC\) nhưng BD không chứa trong \(\left( \alpha  \right)\) nên \(B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha  \right)\)

c) Ta có \(K = SO \cap \left( \alpha  \right)\) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và (SBD).

Mặt phẳng (SBD) chứa \(B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha  \right)\) nên cắt  theo giao tuyến \(d\parallel B{\rm{D}}\). Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và (SBD).

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD.

Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.