Bài 3.29 trang 115 SBT hình học 12

Đề bài

Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 3z + 4 = 0.

Lời giải chi tiết

Trục Oy có VTCP \(\overrightarrow j  = (0;1;0)\)

Mặt phẳng \((\alpha ): 2x – y + 3z + 4 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; - 1;3)\)

Mặt phẳng \((\beta )\) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_\beta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\
\overrightarrow {{n_\beta }} \bot \overrightarrow j
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\)

Suy ra \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = (3;0; - 2)\)

Mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3;0; - 2)\)

Vậy phương trình của \((\beta )\) là:  3(x – 2) – 2(z – 2) = 0  hay 3x – 2z – 2 = 0.