Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 52 SBT toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:

LG a

\({x^2} - 3x + 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu: 

+) \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)

+) \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\)

Áp dụng:  Nếu \(|f(x)|=a; \; (a>0)\) \(\Leftrightarrow f(x)=a\) hoặc \(f(x)=-a.\)

Lời giải chi tiết:

\({x^2} - 3x + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\)

\( \Leftrightarrow \displaystyle {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \displaystyle x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x -\displaystyle {3 \over 2} =  - {{\sqrt 5 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \displaystyle x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x =\displaystyle {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \displaystyle {{3 + \sqrt 5 } \over 2};\)\({x_2} = \displaystyle{{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

LG b

\({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu: 

+) \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)

+) \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\)

Áp dụng:  Nếu \(|f(x)|=a; \; (a>0)\) \(\Leftrightarrow f(x)=a\) hoặc \(f(x)=-a.\)

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \displaystyle{x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} \)\(= \displaystyle1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow\displaystyle {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow\displaystyle x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x + \displaystyle {{\sqrt 2 } \over 2} =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow x =\displaystyle {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x = \displaystyle - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \displaystyle {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2};\)\({x_2} =\displaystyle  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\)

LG c

\(5{x^2} - 7x + 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu: 

+) \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)

+) \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\)

Áp dụng:  Nếu \(|f(x)|=a; \; (a>0)\) \(\Leftrightarrow f(x)=a\) hoặc \(f(x)=-a.\)

Lời giải chi tiết:

\( 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \displaystyle{x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \)

\( \Leftrightarrow\displaystyle {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \) 
\( \Leftrightarrow\displaystyle {\left( {x - {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \)

\( \Leftrightarrow \displaystyle x -  {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x - \displaystyle {7 \over {10}} =  - {{\sqrt {29} } \over {10}}\)

\( \Leftrightarrow x = \displaystyle {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc  \(x = \displaystyle {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \displaystyle {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};\)\({x_2} =\displaystyle  \displaystyle {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)

LG d

\(3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu: 

+) \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)

+) \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\)

Áp dụng:  Nếu \(|f(x)|=a; \; (a>0)\) \(\Leftrightarrow f(x)=a\) hoặc \(f(x)=-a.\)

Lời giải chi tiết:

\( 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \) 

\( \Leftrightarrow \displaystyle{x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \) 
\( \Leftrightarrow \displaystyle x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2}\)\( = \displaystyle{2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \) 
\( \Leftrightarrow \displaystyle {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \)

\( \Leftrightarrow \displaystyle  x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\) hoặc \(x + \displaystyle {{\sqrt 3 } \over 3} =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \displaystyle x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\) hoặc \(x =  - 1 - \displaystyle {{\sqrt 3 } \over 3}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 - \displaystyle{{\sqrt 3 } \over 3};\)\({x_2} =  - 1 - \displaystyle {{\sqrt 3 } \over 3}\)