Giải bài 3 trang 73 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra, \(SG \bot \left( {ABC} \right),SM \bot BC,AM \bot BC\)

Do đó, góc SMG là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\)

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên \(\widehat {ABC} \) \( = {60^0},AB \) \( = a\), AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABM vuông tại M. Suy ra: \(AM \) \( = AB.\sin {60^0} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM \) \( = \frac{1}{3}AM \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Vì tam giác SBC đều nên SM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SBM vuông tại G ta có:

\(SM \) \( = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  \) \( = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right) \) \( \Rightarrow SG \bot GM\). Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SGM vuông tại G ta có: \(SG \) \( = \sqrt {S{M^2} - G{M^2}}  \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Vì \(GM \) \( = SG\left( { = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right),\widehat {SGM} \) \( = {90^0}\) nên tam giác SMG vuông cân tại G.

Do đó, \(\widehat {SMG} \) \( = {45^0}\)