Bài 3 trang 199 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC).

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}}\)

c) Chứng minh rằng (S_SBC)² = (S_HBC). (S_ABC) và

(S_ABC)² = (S_SAB)² + (S_SBC)² + (S_SCA)²

d) Chứng minh rằng

SG² = (SA² + SB² + SC²)/9 (G là trọng tâm của tam giác ABC) và

(AB + BC + CA)² ≤ 6(SA² + SB² + SC²).

e) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn và

SA²tanA = SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh: CH ⊥ AB & AH ⊥ BC

Ta có: AB ⊥ SC (do SH ⊥ (ABC)) & AB ⊥ SH (do SC ⊥ (SAB))

⇒ AB ⊥ (SCH) ⇒ AB ⊥ CH (1)

Tương tự, ta có BC ⊥ (SAH) nên AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) cho ta H là trực tâm ΔABC.

b) Giả sử CH kéo dài cắt AB tại C’, ta có

AB ⊥ CC' (do H là trực tâm) & AB ⊥ SC' (do AB ⊥ (SCH))

Trong tam giác SCC’, ta có \(\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{C^2}}} + \dfrac{1}{{SC{'^2}}}\) (3)

Mà SC’ là đường cao trong tam giác vuông SAB nên

Tương tự, ta có (S_SCA )² = S_HCA. S_ABC (7)

(S_SAB )² = S_HAB. S_ABC (8)

Cộng (6), (7), (8) vế theo vế, ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {{S_{SBC}}} \right)^2} + {\left( {{S_{SCA}}} \right)^2} + {\left( {{S_{SAB}}} \right)^2}\\ = {S_{ABC}}\left( {{S_{HBC}} + {S_{HCA}} + {S_{HAB}}} \right)\\ = {S_{ABC}}.{S_{ABC}} = {\left( {{S_{ABC}}} \right)^2}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2AB. BC ≤ AB² + BC²

2CA. AB ≤ CA² + AB²

2BC. CA ≤ BC² + CA²

Suy ra (AB + BC + CA)² = AB² + BC² + CA² + 2(AB.BC + BC.CA + CA.AB)

≤ 3(AB² + BC² + CA²)

≤ 3(SA² + SB² + SB² + SC² + SC² + SA²)

≤ 6(SA² + SB² + SC²).

e) Đặt SA = a, SB = b, SC = c

Trong ΔABC, ta có: \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\) \( = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}  > 0}}\)

Tương tự cosB > 0, cosC > 0.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

Mặt khác, ta có: 

\(\begin{array}{l}S{A^4}.{\tan ^2}A = {a^4}\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}} - 1} \right)\\ = {a^4}\left[ {\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}}{{{a^4}}} - 1} \right]\end{array}\)

= (a² + b²)(a² + c²) - a⁴ = a² b² + b² c² + c² a²

= 4(S_SAB² + S_SBC² + S_SCA²) = 4(S_ABC)²

⇒ SA²tanA = 2S_ABC.

Tương tự, ta có: SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC.

Vậy SA²tanA = SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC.