Bài 2.5 trang 31 SBT đại số 10

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

LG a

 \(y =  - 2x + 3\) trên R.

Giải chi tiết:

\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) \)

\(=  - 2{x_1} + 3 - ( - 2{x_2} + 3) \)

\(=  - 2({x_1} - {x_2})\)

Ta thấy \({x_1} > {x_2}\) thì \(-2({x_1} - {x_2}) < 0\), tức là

\(f({x_1}) - f({x_2}) < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) .

LG b

 \(y = {x^2} + 10x + 9\) trên \(( - 5; + \infty )\);

Phương pháp giải:

\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\), giả sử \({x_1} > {x_2}\) ta xét  xem \(f({x_1}) < f({x_2})\) hay \(f({x_1}) > f({x_2})\) rồi đưa ra kết luận nghịch biến hay đồng biến dựa vào định nghĩa.

Giải chi tiết:

\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) = x_1^2 + 10{x_1} + 9 \)\(- x_2^2 - 10{x_2} - 9\)

=(\(({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) + 10({x_1} - {x_2})\)

=\(({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2} + 10)\)(*)

\(\forall {x_1},{x_2} \in ( - 5; + \infty )\) và \({x_1} < {x_2}\) ta có

\({x_1} - {x_2} < 0\) và \({x_1} + {x_2} + 10 > 0\) vì

\({x_1} >  - 5;{x_2} >  - 5 =  > {x_1} + {x_2} >  - 10\)

Vậy từ (*) suy ra

\(f({x_1}) - f({x_2}) < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 5; + \infty )\).

LG c

 \(y =  - \dfrac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và (2 ;3).

Phương pháp giải:

\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\), giả sử \({x_1} > {x_2}\) ta xét  xem \(f({x_1}) < f({x_2})\) hay \(f({x_1}) > f({x_2})\) rồi đưa ra kết luận nghịch biến hay đồng biến dựa vào định nghĩa.

Giải chi tiết:

\(\forall {x_1},{x_2} \in ( - 3; - 2)\) và \({x_1} < {x_2}\), ta có:

\({x_1} - {x_2} < 0;{x_1} + 1 <  - 2 + 1 < 0;\)

\({x_2} + 1 <  - 2 + 1 < 0 =  >\)

\( ({x_1} + 1)({x_2} + 1) > 0\). Vậy

\(f({x_1}) - f({x_2}) =  - \dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 1}}\)

\( = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}} < 0 \)

\(\Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 3; - 2)\).

\(\forall {x_1},{x_2} \in (2;3)\) và \({x_1} < {x_2}\), tương tự ta cũng có \(f({x_1}) < f({x_2})\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).