Bài 2.43 trang 82 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau theo giao tuyến m. Trên đường thẳng d cắt \(\left( \alpha  \right)\) ở A và cắt \(\left( \beta  \right)\) ở B ta lấy hai diểm cố định S₁,S₂ không thuộc \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\). Gọi M là một điểm di động trên \(\left( \beta  \right)\). Giả sử các đường thẳng \(M{S_1},M{S_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) lần lượt tại M₁ và M₂.

a) Chứng minh rằng M₁M₂ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

b) Giả sử đường thẳng M₁M₂ cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Gọi b là một đường thẳng thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) nhưng không đi qua điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên b thì các điểm M₁ và M₂ di động trên hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng (M, d) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến M₁M₂. Điểm A cũng thuộc giao tuyến đó. Vậy đường thẳng M₁M₂ luôn luôn đi qua điểm A cố định.

b)  Mặt phẳng (M, d) cắt \(\left( \beta  \right)\) theo giao tuyến BM. Điểm K thuộc giao tuyến đó nên ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Giả sử b cắt m tại I  thì mặt phẳng (S₁, b) luôn luôn cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến IM₁. Do đó  điểm M₁ di động trên giao tuyến của IM₁ cố định. Còn khi M di động trên b thì mặt phẳng (S₂, b) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến IM₂. Do đó điểm M₂ chạy trên giao tuyến IM₂ cố định.