Bài 2.41 trang 82 SBT hình học 11

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt nằm trên hai cạnh \(AD\) và \(CC’\) sao cho \(\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{CN}{NC'}\).

Hình vẽ

LG a

Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((ACB’)\)

Phương pháp giải:

Trong câu này để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đã nằm trong một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho.

Sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a\), \(b\) và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \((\beta)\) thì \((\alpha)\) song song với \((\beta)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset (\alpha ),b \subset (\alpha )\\a\text{ cắt }b\\a\parallel (\beta ),b\parallel (\beta )\end{array} \right. \Rightarrow (\alpha )\parallel (\beta )\)

Chứng minh đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\) ta chứng minh đường thẳng \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) (sao cho \(d'\subset (\alpha)\)).

\(\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset (\alpha )\\d\parallel d'\\d' \subset (\alpha )\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel (\alpha )\)

Sử dụng định lý Talet.

Lời giải chi tiết:

Vẽ \(MP\) song song với \(AC\) và cắt \(CD\) tại \(P\)

Trong tam giác \(ADC\) có: \(\dfrac{AM} {MD} = \dfrac{CP}{PD}\)

Mà \(\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{CN}{NC'}\).

\(\Rightarrow \dfrac{AM} {MD} = \dfrac{CP}{PD}=\dfrac{CN}{NC'}\)

Do đó \(PN\parallel DC'\parallel AB'\)

Đường thẳng \(MN\) thuộc mặt phẳng \((MNP)\) và mặt phẳng này có \(MP\parallel AC\) và \(PN\parallel AB'\). Vậy mặt phẳng \((MNP)\) song song với  mặt phẳng \((ACB’)\) và do đó \(MN\parallel \left( {ACB'} \right)\)

Ta có theo cách vẽ \(MP\parallel AC, AC\subset (ACB')\)

\(\Rightarrow MP\parallel (ACB')\).

\(PN\parallel AB', AB'\subset (ACB')\)

\(\Rightarrow PN\parallel (ACB')\)

Mà \(MP, PN\subset (MNP)\)

\(\Rightarrow (MNP)\parallel (ACB')\)

Ta có \(MN\subset (ACB')\)

LG b

Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua \(MN\) và song song với mặt phẳng \((ACB’)\) 

Phương pháp giải:

Cách xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((\alpha)\) với một hình chóp khi cho biết \((\alpha)\) song song với một mặt phẳng nào đó trong hình chóp:

+ Áp dụng tính chất khi \((\alpha)\) song song với một mặt phẳng \((\beta)\) nào đó thì \((\alpha)\) sẽ song song với tất cả đường thẳng nằm trong \((\beta)\).

+ Xác định giao tuyến của \((\alpha)\) với các mặt của hình chóp:

- Tìm đường thẳng \(d\) nằm trong \((\beta)\).

- Vì \((\alpha\parallel d)\) nên \((\alpha)\) cắt những mặt phẳng chứa \(d\) theo các giao tuyến song song với \(d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \((MNP) \parallel (ACB’)\) nên hai mặt phẳng đó cắt các mặt bên của hình hộp theo các giao tuyến song song.

Ta vẽ \(NQ\parallel CB',QR\parallel C'A'\left( {\parallel CA} \right),\)

\(RS\parallel AB'\left( {\parallel PN} \right)\), \(SM\parallel QN\).

Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua \(MN\) và song song với mặt phẳng \((ACB’)\) là  hình lục giác \(MPNQRS\) có các cạnh đối diện song song với nhau từng đôi một: \(MP\parallel RQ,PN\parallel SR,NQ\parallel MS\).