Bài 24 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), \(AB = a (cm), AC = b (cm)\), \((a < b)\), trung tuyến \(AM,\) đường phân giác \(AD\) (\(M\) và \(D\) thuộc cạnh \(BC\)) (h.20).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(BC, BD, DC, AM \) và \(DM\) theo \(a, b.\)

b) Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết \(a = 4,15cm; b = 7,25cm.\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {b^2}\)

\( \Rightarrow BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Ta có: \( \displaystyle AM = BM = {1 \over 2}BC\)  (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

\( \displaystyle \Rightarrow AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

Từ đó, ta có:

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \Rightarrow DB = \dfrac{{AB.BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\)

Vậy \(DC = BC - DB \)\(\,=\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\)\(\,\displaystyle = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\)

\(\eqalign{  & DM = BM - BD  \cr  &  = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}   \cr} \)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{\left( {a + b} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 2a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left( {a + b} \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {a + b - 2a} \right)}}{{2\left( {a + b} \right)}}\\
= \dfrac{{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left( {a + b} \right)}}
\end{array}\)

b) Với \(a = 4,15\;cm; b= 7,25 \;cm\), ta tính được:

\( BC = \sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}}\)\(\;  \approx 8,35(cm)  \)

\(\displaystyle BD = {{4,15\sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}} } \over {4,15 + 7,25}} \)\(\,\approx 3,04(cm)  \)

\(DC = \dfrac{{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\approx 5,31(cm)  ;\)

\(\displaystyle  AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \approx 4,18(cm) ;\)

\(\,DM= \dfrac{{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left( {a + b} \right)}} \approx 1,14(cm)  .\)