Bài 22 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác cân \(ABC\; (AB = AC)\), đường phân giác góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cho biết \(AB = 15cm, BC = 10cm\) (h19).

a) Tính \(AD, DC.\)

b) Đường vuông góc với \(BD\) tại \(B\) cắt đường thẳng \(AC\) kéo dài tại \(E\). Tính \(EC.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có:

\(\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle  {{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle  {{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)

Mà \(∆ ABC\) cân tại \(A\) nên \(AC = AB = 15\; (cm)\).

\( \Rightarrow \displaystyle {{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \)

\( \Rightarrow \displaystyle  AD = {{15.15} \over {25}} = 9\; (cm)\)

Vậy \(DC = AC - AD = 15 - 9 = 6 \;(cm)\).

b) Vì \(BE ⊥ BD\) nên \(BE\) là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh \(B\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc)

\( \Rightarrow \displaystyle {{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác )

\( \Rightarrow \displaystyle {{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \)

\(\Rightarrow EC.BA = BC\left( {EC + AC} \right)\)

\(\Rightarrow  EC.BA - EC.BC = BC.AC \)

\(  \Rightarrow EC\left( {BA - BC} \right) = BC.AC  \)

\( \Rightarrow \displaystyle  EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\)\(\;(cm).\)