Bài 23 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ,\) \(AB = 12cm, AC = 16cm;\) đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D.\)

a) Tính \(BC, BD\) và \(CD.\)

b) Vẽ đường cao \(AH,\) tính \(AH, HD\) và \(AD.\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có: 

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} \)\(\,= 400\)

\( \Rightarrow BC = 20 \;(cm)\).

Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên ta có:

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle  DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} \)\(\, \displaystyle = {{60} \over 7}\) (cm)

Vậy \(DC = BC - DB = \displaystyle 20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\) (cm)

b) Ta có \(\displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\)

\( \Rightarrow AB.AC = AH.BC\)

\( \Rightarrow \displaystyle  AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\)  (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AHB\), ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\( \Rightarrow  H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)\(\, = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84 \)

\(\Rightarrow HB = 7,2\;(cm)  \)

Vậy \(\displaystyle  HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \)\(\,\approx 1,37\; (cm)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AHD\), ta có:

\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \)\(\,= {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} \)\(\,= 94,0369\)

\( \Rightarrow  AD ≈ 9,7\; (cm)\).