Bài 19 trang 87 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác cân \(BAC\) có \(BA = BC = a, AC = b.\) Đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(M\), đường phân giác góc \(C\) cắt \(BA\) tại \(N\) (h16).

a) Chứng minh rằng: \(MN // AC.\) 

b) Tính \(MN\) theo \(a, b\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BAC\) có \(AM\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác )     (1)

\(CN\) là đường phân giác của \(\widehat {BCA}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác )   (2)

Lại có: \(AB = CB = a\) (gt)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\)

Xét \(\Delta BAC\) có \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\) nên theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \(MN // AC\).

b) Ta có: \(\displaystyle  {{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (chứng minh trên )

\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MB}} + 1 = \dfrac{{AC}}{{AB}} + 1\)

\(\Rightarrow \displaystyle {{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \)

\(\Rightarrow \displaystyle {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{a \over {MB}} = {{b + a} \over a}\)

\(\Rightarrow \displaystyle MB = {{{a^2}} \over {a + b}}\)

Xét \(\Delta BAC\) có \(MN // AC\) (chứng minh trên)

Theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\)

\( \Rightarrow MN = \dfrac{{AC.MB}}{{BC}} = \dfrac{{b.\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}}}{a} \)\(\,= \dfrac{{ab}}{{a + b}}\)