Bài 21 trang 102 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O,\) biết \(\widehat A = {32^0}\), \(\widehat B = {84^0}\). Lấy các điểm \(D, E, F\) thuộc đường tròn tâm \(O\) sao cho \(AD = AB,\) \(BE = BC,\) \(CF = CA.\) Hãy tính các góc của tam giác \(DEF.\)

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn \((O)\) có:

\(\widehat A =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BC}\) (tính chất góc nội tiếp)

\( \Rightarrow  sđ \overparen{BC}\) \( = 2\widehat A = {2.32^o} = {64^o}\)

Ta có: \(BC = BE \;\;(gt)\)

\( \Rightarrow sđ \overparen{BC}\)\( = sđ \overparen{BE}= 64^o\)

Mà \(\widehat B = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AC}\) (tính chất góc nội tiếp)

\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AC}\) \( = 2\widehat B = {2.84^o} = {168^o}\)

Lại có: \(AC = CF \;\;(gt)\)

\( \Rightarrow sđ \overparen{CF}\) \(=  sđ \overparen{AC}= 168^o\)

\( sđ \overparen{AC} +  sđ \overparen{AF} +  sđ \overparen{CF}\)\( = 360^o\)

\( \Rightarrow  sđ \overparen{AF}\) \( = {360^o} -  sđ \overparen{AC} -  sđ \overparen{CF}\)\( = 360^o – 168^o. 2 = 24^o\)

Trong \(∆ABC\) ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\)

\( = {180^0} - \left( {{{32}^o} + {{84}^o}} \right) = {64^o}\)

Mà \( \widehat {ACB} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}\) (tính chất góc nội tiếp) 

\( \Rightarrow  sđ \overparen{AB} = 2\widehat {ACB} = {2.64^o} = {128^o}\)

Lại có \(AD = AB\;\; (gt)\)

\( \Rightarrow  sđ \overparen{AD} =  sđ \overparen{AB} = 128^o\)

Ta có: \(\widehat {FED} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{DF}\) \( =\displaystyle {1 \over 2} ( sđ \overparen{AD} +  sđ \overparen{AF}\))

\(= \displaystyle{1 \over 2}.\left( {{{128}^o} + {{24}^o}} \right) = {76^o}\)

\(\widehat {EDF} = \displaystyle{1 \over 2} sđ \overparen{EF}\) \(=\displaystyle {1 \over 2} ( sđ \overparen{AB} -  sđ \overparen{AF} -  sđ \overparen{BE})\)

\(= \displaystyle{1 \over 2}.\left( {{{128}^o} - {{24}^o} - {{64}^o}} \right) = {20^o}\)

\(\widehat {DFE} = {180^o} - \left( {\widehat {FED} + \widehat {EDF}} \right)\)

\(= {180^0} - \left( {{{76}^o} + {{20}^o}} \right) = {84^o}\).