Bài 20 trang 21 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

a) So sánh \(\sqrt {25 - 16} \) với \(\sqrt {25}  - \sqrt {16} \)

b) Chứng minh rằng với a > b > 0 thì \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \) 

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {25 - 16}  = \sqrt 9  = 3\)

\(\sqrt {25}  - \sqrt {16}  = 5 - 4 = 1\)

Rõ ràng \(3 > 1\) nên \(\sqrt {25 - 16}  > \sqrt {25}  - \sqrt {16} \)

b) Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b \)

Ta có \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b \) là số dương và

\({\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)}  + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \) 

Rõ ràng  \(2\sqrt {b(a - b)}  > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} > a\)   (1)

Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\({\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\)      (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)}^2}}  > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \)

Hay \(\left| {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\)

Hay \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt a \)

Từ kết quả \(\sqrt a  < \sqrt {a - b}  + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \)