Bài 19 trang 20 Vở bài tập toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

LG a

\(\dfrac{y}{x}.\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} \) với \(x > 0,\,\,y \ne 0\)

Phương pháp giải:

- Áp dụng phép khai phương một thương:

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\left( {A \ge 0;B > 0} \right)\)

- Dùng định lí: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,{\rm{ khi \,\,A}} \ge {\rm{0}}\\{\rm{ - A\,\, khi \,\,A < 0}}\end{array} \right.\)

Xét các trường hợp \(A \ge 0;A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

\(\dfrac{y}{x}.\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^4}}}}  = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{{\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{y^4}} }}\)\( = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{y^2}} \right)}^2}} }} \)\(= \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{{\left| x \right|}}{{{y^2}}}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\left| x \right| = x.\)

Vậy \(\dfrac{y}{x}.\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^4}}}}  \)\(= \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{{{y^2}}} \)\(= \dfrac{1}{y}\)

LG b

\(2{y^2}\sqrt {\dfrac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} \) với y < 0

Phương pháp giải:

- Áp dụng phép khai phương một thương:

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\left( {A \ge 0;B > 0} \right)\)

- Dùng định lí: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,{\rm{ khi \,\,A}} \ge {\rm{0}}\\{\rm{ - A\,\, khi \,\,A < 0}}\end{array} \right.\)

Xét các trường hợp \(A \ge 0;A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

\(2{y^2}\sqrt {\dfrac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} \)\( = 2{y^2}\dfrac{{\sqrt {{x^4}} }}{{\sqrt {4{y^2}} }} = 2{y^2}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {2y} \right)}^2}} }} \)\(= 2{y^2}\dfrac{{{x^2}}}{{\left| {2y} \right|}}\)

Vì \(y < 0\) nên \(\left| {2y} \right| =  - 2y.\)

Vậy \(2{y^2}\sqrt {\dfrac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} \)\( = 2{y^2}\dfrac{{{x^2}}}{{ - 2y}} =  - \dfrac{{2{x^2}{y^2}}}{{2y}} =  - {x^2}y\)

LG c

\(5xy.\sqrt {\dfrac{{25{x^2}}}{{{y^6}}}} \) với x < 0, y > 0

Phương pháp giải:

- Áp dụng phép khai phương một thương:

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\left( {A \ge 0;B > 0} \right)\)

- Dùng định lí: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,{\rm{ khi \,\,A}} \ge {\rm{0}}\\{\rm{ - A\,\, khi \,\,A < 0}}\end{array} \right.\)

Xét các trường hợp \(A \ge 0;A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

\(5xy.\sqrt {\dfrac{{25{x^2}}}{{{y^6}}}} \) \( = 5xy \cdot \dfrac{{\sqrt {25{x^2}} }}{{\sqrt {{y^6}} }} = 5xy\dfrac{{\sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{y^3}} \right)}^2}} }} \)\(= 5xy\dfrac{{\left| {5x} \right|}}{{\left| {{y^3}} \right|}}\)

Với \(x < 0;y > 0,\) ta có \(\left| {5x} \right| =  - 5x\) và \(\left| {{y^3}} \right| = {y^3}\).

Vậy \(5xy.\sqrt {\dfrac{{25{x^2}}}{{{y^6}}}} \)\( = 5xy \cdot \dfrac{{\left( { - 5x} \right)}}{{{y^3}}} = \dfrac{{ - 25{x^2}}}{{{y^2}}}.\)

LG d

\(0,2{x^3}{y^3}.\sqrt {\dfrac{{16}}{{{x^4}{y^8}}}} \) với \(x \ne 0,\,\,y \ne 0\) 

Phương pháp giải:

- Áp dụng phép khai phương một thương:

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\left( {A \ge 0;B > 0} \right)\)

- Dùng định lí: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,{\rm{ khi \,\,A}} \ge {\rm{0}}\\{\rm{ - A\,\, khi \,\,A < 0}}\end{array} \right.\)

Xét các trường hợp \(A \ge 0;A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

\(0,2{x^3}{y^3}.\sqrt {\dfrac{{16}}{{{x^4}{y^8}}}} \) \( = 0,2{x^3}{y^3}\dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {{x^4}{y^8}} }} \)\(= 0,2{x^3}{y^3}\dfrac{{\sqrt {{4^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{x^2}{y^4}} \right)}^2}} }}\) \( = 0,2{x^3}{y^3}\dfrac{4}{{{x^2}{y^4}}}\)\( = \dfrac{{0,8x}}{y}\)