Bài 19 trang 167 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) với \(AB = 1, AD = x\; (x > 0)\) và \(\widehat {BAD} = 60^\circ \).

a) Tính diện tích toàn phần \(S\) của hình tạo thành khi quay hình bình hành \(ABCD\) đúng một vòng quanh cạnh \(AB\) và diện tích toàn phần \(S_1\) của hình tạo thành khi quay quanh cạnh \(AD\).

b) Xác định giá trị \(x\) khi \(S = S_1\) và \(S = 2S_1\).

Lời giải chi tiết

a) Khi quay hình bình hành \(ABCD\) một vòng quanh cạnh \(AB\) thì cạnh \(AD\) và \(BC\) vạch nên \(2\) hình nón bằng nhau có đường sinh \(AD = BC = x,\) cạnh \(CD\) vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.

Trong \(∆AHD\) có \(\widehat {AHD} = 90^\circ ;\widehat A = 60^\circ \), ta có:

\(DH = AD. \sin 60^o= \displaystyle x.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{x\sqrt 3 } \over 2}\)

Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh \(2\) hình nón và diện tích xung quanh hình trụ: \(S = {S _{\text{xq trụ}}} + 2{S _\text{xq nón}}\)

\(\eqalign{
& S = 2\pi DH.DC + 2.\pi DH.AD \cr 
& \;\;\;= 2\pi {{x\sqrt 3 } \over 2}.1 + 2.\pi .{{x\sqrt 3 } \over 2}.x \cr 
& \;\;\;= \pi x\sqrt 3 + \pi {x^2}\sqrt 3 \cr} \)

\( \Rightarrow S = \pi x\sqrt 3 (1 + x)\)

Khi quay hình bình hành quanh trục \(AD\) một vòng thì cạnh \(AB\) và \(DC\) vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh \(AB = CD = 1.\) Cạnh \(BC\) vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.

Bán kính đáy: \(\displaystyle BH = AB. \sin 60^o = 1.{{\sqrt 3 } \over 2}={{\sqrt 3 } \over 2}\)

\(S_1\) là diện tích toàn phần hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón cộng với diện tích hình trụ.

\(S_1 = {S _{\text{xq trụ}}} + 2{S _\text{xq nón}}\)

\({S_1} = 2\pi .BH.BC + 2.\pi .BH.AB\)

\(S_1\displaystyle = 2\pi. {{\sqrt 3 } \over 2}.x + 2.\pi .{{\sqrt 3 } \over 2}.1\)

\({S_1} = \pi \sqrt 3 (x + 1)\)

b) Để \(S = S_1\) \(\Leftrightarrow \pi x\sqrt 3 (1 + x) = \pi \sqrt 3 (x + 1) \)

\(\Leftrightarrow x(1 + x) = x + 1\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x + 1)(x - 1) = 0\)

Vì \(x > 0  \Rightarrow  x + 1 \ne 0\)

\( \Rightarrow  x - 1 = 0  \Leftrightarrow  x = 1\)

Vậy \(x=1\) thì \(S = S_1\).

Để \(S = 2S_1\) \(\Leftrightarrow \pi x\sqrt 3 (1 + x) = 2\pi \sqrt 3 (x + 1) \)

\(\Leftrightarrow x(x + 1) = 2(x + 1)\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  (x + 1)(x - 2) = 0\)

Vì \(x > 0  \Rightarrow  x + 1 \ne 0\)

\( \Rightarrow  x - 2 = 0  \Leftrightarrow  x = 2\).

Vậy \(x=2\) thì \(S = 2S_1\).