Bài 17 trang 7 SBT toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

LG a

\(\) \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)\( + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\)

Phương pháp giải:

+) Sử hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại biến đổi vế phải bằng vế trái:

\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)

\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)

\( (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

\( (A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)

Giải chi tiết:

\(\) Biến đổi vế trái:

\( \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)\( + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \)\( = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3}  \)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

LG b

\(\) \({a^3} + {b^3}=\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]\);

Phương pháp giải:

+) Sử hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại biến đổi vế phải bằng vế trái:

\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)

\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)

\( (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

\( (A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)

Giải chi tiết:

\(\) Biến đổi vế phải:

\(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] \)\(= \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] \)\(= \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \)

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

LG c

\(\) \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\)\( = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\)

Phương pháp giải:

+) Sử hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại biến đổi vế phải bằng vế trái:

\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)

\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)

\( (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

\( (A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)

Giải chi tiết:

\(\) Biến đổi vế phải:

\( {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} \)\(= {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2}\)\( - 2abcd + {b^2}{c^2}\)\(= {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} \)\(= c^2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \)\( = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \)

Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.