Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD} = {15^0}\).

a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho\(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a. Xét ∆ EDC và ∆ FDA :

\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)

DC = AD (gt)

\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)

Do đó: ∆ EDC = ∆ FDA (g.c.g)

 ⇒ DE = DF

⇒ ∆ DEF cân tại D

Ta lại có:

\( \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC}  \)\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \)\( = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \)

Vậy ∆ DEF đều.

b. Xét ∆ ADE và ∆ BCE:

ED = EC (vì ∆ EDC cân tại E)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)

AD = BC (gt)

Do đó: ∆ ADE = ∆ BCE (c.g.c)

⇒ AE = BE (1)

Trong ∆ AFD ta có:

\(\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \)\(= {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0}  \)\( \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0}  \)\(  \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \)\( = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) \)\(= {150^0} \)

Xét ∆ AFD và ∆ AEF:

AF cạnh chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)

DF = EF (vì ∆ DFE đều)

Do đó: ∆ AFD = ∆ AEF (c.g.c)

⇒ AE = AD

AD = AB (gt)

Suy ra: AE = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AB = BE.

Vậy ∆ AEB đều.