Bài 155 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD.\) Gọi \(E,\, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\, BC.\)

a. Chứng minh rằng \(CE\) vuông góc với \(DF\)

b. Gọi \(M\) là giao điểm của \(CE\) và \(DF.\) Chứng minh rằng \(AM = AD\)

Lời giải chi tiết

a. Xét \(∆ BEC\) và \(∆ CFD:\)

\(BE = CF\) (gt)

\(\widehat B = \widehat C = {90^0}\)

\(BC = CD\) (gt)

Do đó: \(∆ BEC = ∆ CFD\, (c.g.c)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}  \cr  & {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {90^0} \cr} \)

Suy ra: \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)

Trong \(∆ DCM\) có \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)

Suy ra: \(\widehat {DMC} = {90^0}\). Vậy \(CE ⊥ DF\)

b. Gọi \(K\) là trung điểm của \(DC,\) \(AK\) cắt \(DF\) tại \(N.\)

Xét tứ giác \(AKCE\) ta có:

\(AB // CD\) hay \(AE // CK\)

\(AE =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(CK =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (theo cách vẽ)

Suy ra: \(AE // CK\) nên tứ giác \(AKCE\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(AK // CE\)

\(DF ⊥ CE\) (chứng minh trên) \(⇒  AK ⊥ DF\) hay \(AN ⊥ DM\)

Trong \(∆ DMC\) ta có: \(DK = KC\) \(KN // CM\)

nên \(DN = MN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: \(∆ ADM\) cân tại \(A\) (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)

\(⇒ AD = AM\)