Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD.\) Gọi \(P,\, Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\, CD.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AQ\) và \(DP,\) gọi \(K\) là giao điểm của \(CP\) và \(BQ.\) Chứng minh rằng \(PHQK\) là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác \(APQD\) ta có:

\(AB // CD\) (gt) hay \(AP // QD\)

\(AP =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(QD =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (gt)

Suy ra: \(AP = QD\) nên tứ giác \(APQD\) là hình bình hành.

\(\widehat A = {90^0}\)

Suy ra: Tứ giác \(APQD\) là hình chữ nhật

\(AD = AP =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\)

Vậy : Tứ giác \(APQD\) là hình vuông

\(⇒ AQ ⊥ PD\) (tính chất hình vuông) \( \Rightarrow \widehat {PHQ} = {90^0}\) (1)

\(HP = HQ\) (tính chất hình vuông)

- Xét tứ giác \(PBCQ\) ta có:

\(PB // CD\)

\(PB =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(CQ =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (gt)

Suy ra: \(PB = CQ\) nên tứ giác \(PBCQ\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(\widehat B = {90^0}\)suy ra tứ giác \(PBCQ\) là hình chữ nhật

\(PB = BC\) (vì cùng bằng \(AD =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\))

Vậy: Tứ giác \(PBCQ\) là hình vuông

\(⇒ PC ⊥ BQ\) (tính chất hình vuông) \( \Rightarrow \widehat {PKQ} = {90^0}\)(2)

\(PD\) là tia phân giác \(\widehat {APQ}\) (tính chất hình vuông)

\(PC\) là tia phân giác \(\widehat {QPB}\) (tính chất hình vuông)

Suy ra: \(PD ⊥ PC\) (tính chất hai góc kề bù) ⇒ \(\widehat {HPK} = {90^0}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác \(PHQK\) là hình vuông.