Bài 133 trang 96 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình thoi \(ABCD.\) Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\)

- Trong \(∆ ABC\) ta có:

\(E\) là trung điểm của \(AB\)

\(F\) là trung điểm của \(BC\)

nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC.\)

\(⇒ EF // AC\) và \(EF =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Trong \(∆ ADC\) ta có:

\(H\) là trung điểm của \(AD\)

\(G\) là trung điểm của \(CD\)

nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ADC\)

\(⇒ HG // AC\) và \(HG =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)

Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: \(AC ⊥ BD\) (tính chất hình thoi)

\(EF // AC\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(EF ⊥ BD\)

Trong \(∆ ABD\) ta có \(EH\) là đường trung bình

\(⇒ EH // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: \(EH ⊥ EF\) 

Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật.