Bài 132 trang 96 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.

Lời giải chi tiết

Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA\) của hình chữ nhật \(ABCD.\)

Kẻ đường chéo \(AC.\)

- Trong \(∆ ABC\) ta có:

\(E\) là trung điểm của \(AB\)

\(F\) là trung điểm của \(BC\)

nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)

\(⇒ EF // AC\) và \(EF =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

- Trong \(∆ ADC\) ta có:

\(H\) là trung điểm \(AD\)

\(G\) là trung điểm \(DC\)

nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ADC.\)

\(⇒ HG // AC\) và \(HG =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)

Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

- Xét \(∆ AEH\) và \(∆ DGH:\)

\(AH = DH\) (gt)

\(\widehat {EAH} = \widehat {GDH} = {90^0}\)

\(AE = DG\) (vì \(AB = CD\))

Do đó: \(∆ AEH = ∆ DGH\, (c.g.c)\) \(⇒ HE = HG\) (hai cạnh tương ứng)

Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi (vì có hai cạnh kề bằng nhau)