Bài 1.2 trang 10 SBT hình học 11

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\vec v=(-2;1)\), đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x-3y+3=0\), đường thẳng \(d_1\) có phương trình \(2x-3y-5=0\).

LG a

Viết phương trình của đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \(T_{\vec v}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(M(x;y)\) và vectơ \(\vec v(a;b)\). Gọi điểm \(M’=(x’;y’)=T_{\vec v}(M)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).

Sử dụng lý thuyết phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Gọi phương trình \(d'\).

- Lấy một điểm \(A \in d\), tìm ảnh \(A'\) của \(A\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

- Cho \(A' \in d'\) và suy ra phương trình của \(d'\).

Lời giải chi tiết:

Lấy một điểm thuộc \(d\), chẳng hạn \(M=(0;1)\).

Khi đó \(M’=T_{\vec v}(M)\)

\(=(0-2;1+1)=(-2;2) \in d’\).

Vì \(d’\) song song với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(2x-3y+C=0\).

Do \(M’\in d’\) nên \(2.(-2)-3.2+C=0\) từ đó suy ra \(C=10\).

Do đó \(d’\) có phương trình \(2x-3y+10=0\).

LG b

Tìm tọa độ của \(\vec w\) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\) để \(d_1\) là ảnh của \(d\) qua \(T_{\vec w}\).

Phương pháp giải:

Tính chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Ta có \(d_1=T_{\vec w}(d)\), nên \(\vec w\) có điểm đầu thuộc \(d\) điểm cuối thuộc \(d_1\).

Mục tiêu là viết phương trình đường thẳng \(d_2\) đi qua 2 điểm đầu, cuối đó.

Tìm giao của \(d_2\) với \(d\) và \(d_1\).

Lời giải chi tiết:

Lấy một điểm thuộc \(d\), chẳng hạn \(M=(0;1)\). Gọi đường thẳng \(d_2\) qua \(M\) vuông góc với \(d\) khi đó \(d_2\) có vectơ chỉ phương là \(\vec v=(2;-3)\). Do đó phương trình của \(d_2\) là \(\dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-1}{-3}\) hay \(3x+2y-2=0\). Gọi \(M’\) là giao của \(d_1\) với \(d_2\) thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 5 = 0\\3x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{16}}{{13}}\\y =  - \dfrac{{11}}{{13}}\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {\rm{w}}  = \overrightarrow {MM'}  = \left( {\dfrac{{16}}{{13}}; - \dfrac{{24}}{{13}}} \right)\).