Giải bài 1 trang 77 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) \(AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.\)

b) \(BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.\)

c) \(AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.\)

d) \(AB = 23,AC = 32,BC = 44\)

LG a

a) \(AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính BC: Áp dụng định lí cosin: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

Bước 2: Tính góc B, C:

Cách 1: Áp dụng định lí sin: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

Cách 2: Áp dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta cần tính cạnh BC và hai góc \(\widehat B,\widehat C.\)

Áp dụng định lí cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {14^2} + {23^2} - 2.14.23.\cos {125^o}\\ \Rightarrow BC \approx 33\end{array}\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{33}}{{\sin {{125}^o}}} = \frac{{23}}{{\sin B}} = \frac{{14}}{{\sin C}}\\ \Rightarrow \sin B = \frac{{23.\sin {{125}^o}}}{{33}} \approx 0,57\\ \Rightarrow \widehat B \approx {35^o} \Rightarrow \widehat C \approx {20^o}\end{array}\)

LG b

b) \(BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc A

Bước 2: Tính cạnh AB, AC: Áp dụng định lí sin: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.

Ta có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {64^o} - {38^o} = {78^o}\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} = \frac{{AC}}{{\sin {{64}^o}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{38}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin {64^o}.\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} \approx 20,22\\AB = \sin {38^o}.\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} \approx 13,85\end{array} \right.\end{array}\)

LG c

c) \(AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc A

Bước 2: Tính cạnh AB, BC: Áp dụng định lí sin: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.

Ta có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {120^o} - {28^o} = {32^o}\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin {{32}^o}}} = \frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{28}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = \sin {32^o}.\frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 13,5\\AB = \sin {28^o}.\frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 12\end{array} \right.\end{array}\)

LG d

d) \(AB = 23,AC = 32,BC = 44\)

Phương pháp giải:

Tìm các góc: Áp dụng hệ quả của định lí cosin:

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}};\\\cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2.BC.BA}};\\\cos C = \frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{{2.CA.CB}}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta cần tính số đo ba góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 \(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}};\cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2.BC.BA}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{{32}^2} + {{23}^2} - {{44}^2}}}{{2.32.23}} = \frac{{ - 383}}{{1472}};\cos B = \frac{{{{44}^2} + {{23}^2} - {{32}^2}}}{{2.44.23}} = \frac{{131}}{{184}}\\ \Rightarrow \widehat A \approx {105^o},\widehat B = {44^o}36'\\ \Rightarrow \widehat C = {30^o}24'\end{array}\)