Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

Đề bài

PHẦN  I.TRẮC NGHIỆM(3 điểm)

Câu 1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có phương trình \(2x + 3y + 5 = 0\) là:

A. \(\overrightarrow n  = (2;3)\)           B. \(\overrightarrow n  = ( - 2;3)\)

C. \(\overrightarrow n  = (2; - 3)\)        D. \(\overrightarrow n  = (3;2)\)

Câu 2. Đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là:

A. \(I( - 1; - 2),R = 3\)     

B. \(I(1;2),R = 3\)

C. \(I( - 1;2),R = 3\)  . \(I(1;2),R = 1\)

Câu 3.Giá trị của biểu thức\(A = \sin \dfrac{\pi }{6} + \cos \dfrac{\pi }{3}\) bằng :

A. \(A = 1\)                B. \(A = \sqrt 3 \)

C. \(A = \dfrac{1}{2}\)               D. \(A = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Câu 4.Cho hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) thỏa mãn \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\), \(\tan \beta  = \dfrac{1}{3}\).Giá trị của biểu thức \(\tan (\alpha  + \beta )\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)             B. \( - 1\)

C. \(\sqrt 3 \)              D. \(1\)

Câu 5.Cho biết \(\tan \alpha  = 2\). Giá trị của biểu thức \(E = \dfrac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}\)bằng:

A.  \(E = 3\)                B. \(E = 2\)

C.  \(E = 5\)                D. \(E =  - 5\)

Câu 6.Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. \(\sin \alpha  = \sin (\pi  - \alpha )\)

B. \(\cos \alpha  =  - \cos (\pi  - \alpha )\)

C. \(\tan \alpha  =  - \tan (\pi  - \alpha )\)

D. \(\cot \alpha  = \cot (\pi  - \alpha )\)

PHẦN  II.TỰ LUẬN(7 điểm)

Câu 1.(4 điểm)Giải các bất phương trình sau:

a)\({x^2} - 8x + 15 \ge 0\).

b)\((2x + 3)({x^2} - x - 2) \ge 0\)

c)\(\dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}} \ge 9 - x\)

d) \(\sqrt {{x^2} + 15}  < 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} .\)

Câu 2.(1 điểm)Tìm m để  bất phương trình \((2m - 1){x^2} - 2(m - 2)x + m \ge 0\), (trong đó \(m\) là tham số)nghiệm đúng với mọi \(x \in R\)

Câu 3.(2 điểm).

a) Cho elíp(E) có phương trình chính  tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của elíp (E).

b) Cho đường thẳng \((d)\) có phương trình: \(2x + y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(2;3)\) và tạo với đường thẳng \((d)\) một góc \({45^0}\)^.

Lời giải chi tiết

PHẦN  I.TRẮC NGHIỆM

PHẦN  II.TỰ LUẬN

Câu 1:

a) \({x^2} - 8x + 15 \ge 0\)

Vế trái có 2 nghiệm \(x = 3,x = 5\)

\({x^2} - 8x + 15 \ge 0 \)

\(\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;3} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)

b) \((2x + 3)({x^2} - x - 2) \ge 0\)

Vế trái có các  nghiệm \(x =  - \dfrac{3}{2},x =  - 1,x = 2\)

Xét dấu vế trái

Tập nghiệm của bất phương trình là:

\(S = {\rm{[}} - \dfrac{3}{2}; - 1{\rm{] }} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\)

c)

\(\dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}} \ge 9 - x\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 8x + 12}}{{x - 1}} \ge 0(*)\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}{x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 8\end{array} \right.,\\x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Xét dấu vế trái  của (*)

Tập nghiệm của bất phương trình là:

\(S = (1;2{\rm{] }} \cup {\rm{[8}}; + \infty )\)

d)  \(\sqrt {{x^2} + 15}  < 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} \,\,\,(1)\)

* Ta có    (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15}  - \sqrt {{x^2} + 8}  < 3x - 2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 15 - {x^2} - 8}}{{\sqrt {{x^2} + 15}  + \sqrt {{x^2} + 8} }} < 3x - 2 \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{7}{{\sqrt {{x^2} + 15}  + \sqrt {{x^2} - 8} }} < 3x - 2\) (2).

Từ (2) ta có  \(3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{3}\).

* Mặt khác:    (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15}  - 4 < 3x - 3 + \sqrt {{x^2} + 8}  - 3\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15}  + 4}} < 3(x - 1) + \dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8}  + 3}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15}  + 4}} - 3 - \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8}  + 3}}} \right) < 0\)(3)

* Lại có : Vì \(x > \dfrac{2}{3}\) nên \(\sqrt {{x^2} + 15}  + 4 > \sqrt {{x^2} + 8}  + 3 \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15}  + 4}} < \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8}  + 3}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15}  + 4}} - \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8}  + 3}} - 3 < 0\).

Vậy  (3) \( \Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

KL : BPT (1) có tập nghiệm là T=\(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu 2 :Tìm m để  bất phương trình \((2m - 1){x^2} - 2(m - 2)x + m \ge 0\), (trong đó \(m\) là tham số) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\)

Trường hợp 1: \((2m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

BPT trở thành:          \(3x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}\)không thỏa mãn

Trường hợp 2: \((2m - 1) \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\)

Để BPT nghiệm đúng với mọi \(x \in R\) thì     \(\left\{ \begin{array}{l}(2m - 1) > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1\)

Vậy \(m \ge 1\)

Câu 3:

a) Cho elíp (E) có phương trình chính  tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của elíp (E).

Ta có\({a^2} = 25 \Leftrightarrow a = 5,\,\,{b^2} = 9 \)

\(\Leftrightarrow b = 3,{c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 \Leftrightarrow c = 4\)

Tọa độ các đỉnh \({A_1}( - 5;0),\,{A_2}(5;0),{B_1}(0; - 3),\,{B_2}(0;3)\)

Tọa độ các tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),\,{F_2}(4;0).\)

b) Cho đường thẳng \((d)\) có phương trình: \(2x + y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(2;3)\) và tạo với đường thẳng \((d)\) một góc \({45^0}\)^.

Đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(2;3)\) với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (a;b),\,{a^2} + {b^2} > 0\)

Có phương trình là \(a(x - 2) + b(y - 3) = 0 \)

\(\Leftrightarrow ax + by - 2a - 3b = 0\)

Vì đường thẳng \((\Delta )\)  tạo với đường thẳng \((d)\) một góc \({45^0}\)^nên

\({\rm{cos}}{45^0} = \dfrac{{\left| {2a + b} \right|}}{{\sqrt {5({a^2} + {b^2})} }}\)

\(3{a^2} + 8ab - 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 3b\\a = \dfrac{1}{3}b\end{array} \right.\)

Với \(a =  - 3b\) phương trình đường thẳng\((\Delta )\) là \(3x - y - 3 = 0\)

Với \(a = \dfrac{1}{3}b\) phương trình đường thẳng\((\Delta )\) là \(x + 3y - 11 = 0\)