Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 6 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB). Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) (C, D là các tiếp điểm)

a. Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O)

b. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên (O) thì AC + BD không đổi.

Lời giải chi tiết

a. Ta có: AC, AH là tiếp tuyến của đường tròn (M; MH) nên MA là phân giác của góc \(\widehat {CMH}\) hay \(\widehat {CMA} = \widehat {AMH}\)

Tương tự MB là phân giác của \(\widehat {DMH} \Rightarrow \widehat {HMB} = \widehat {BMD}\)

mà \(\widehat {AMH} + \widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (AB là đường kính)

\( \Rightarrow \widehat {CMA} + \widehat {AMH} + \widehat {HMB} + \widehat {BMD}\)\(\, = 180^\circ \) hay ba điểm C, M, D thẳng hàng \(⇒ CA // BD (⊥ CD)\) hay tứ giác ABCD là hình thang vuông, có OM là đường trung bình nên OM // AC // BD \(⇒ OM ⊥ CD.\)

Chứng tỏ CD là tiếp tuyến của (O)

b. Ta có: \(AC = AH, BD = BH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(⇒ AC + BD = AH + BH = AB\)\( = 2R\) không đổi.