Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 1 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AD lấy điểm N sao cho \(AM = AN\). Từ A kẻ AH vuông góc với DM (H thuộc DM) và AH cắt BC tại P. Chứng minh rằng năm điểm C, D, N, H, P thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AH ⊥ DM\) (gt)

nên \(\widehat {MAH} = \widehat {MDA}\) (cùng phụ với \(\widehat {AMD}\) )

Xét hai tam giác vuông ABP và DAM có:

\(AB = AD \;(gt)\)

\(\widehat {MAH} = \widehat {MDA}\) (cmt)

Do đó: ∆ABP = ∆DAM (g.c.g)

\(⇒ BP = AM\), mà \(AM = AN\; (gt)\)

\(⇒ BP = AN\), mà \(BC = AD (gt)\)

\(⇒ PC = ND\)

Vậy PCDN là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo PD và CN, ta có: \(OP = OC = OD = ON\), chứng tỏ bốn điểm P, C, D, N thuộc cùng một đường tròn.

Mặt khác: ∆PHD vuông tại H có OH là đường trung tuyến nên

\(OH = {1 \over 2}PD\)

Vậy: \(OH = OP = OD = OC = ON.\)

Năm điểm C, D, N, H, P thuộc cùng một đường tròn.