Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 6 - Chương 1 - Hình học 8

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {20^ \circ }\) và \(\widehat B = {80^ \circ }\) . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Tính \(\widehat {BMC}.\)

Lời giải chi tiết

Dựng đường thẳng d là trung trực của AB, lấy N đối xứng với M qua d. Gọi I là giao điểm của d và AC ta có:

I, N, B thẳng hàng và \(\widehat {IBA} = \widehat A = {20^ \circ }\)

NB = MA (tính chất đối xứng) mà MA = BC(gt)

\( \Rightarrow NB = BC.\)

Mặt khác \(\widehat {NBC} = \widehat B - \widehat {IBA}\) = \({80^ \circ } - {20^ \circ } = {60^ \circ }.\)

Do đó \(\Delta BNC\) đều \( \Rightarrow \widehat {BCN} = {60^ \circ }.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = {20^ \circ },\widehat B = {80^ \circ }\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {BCA} = {80^ \circ }\)

Do đó: \(\widehat {NCM} = {80^ \circ } - {60^ \circ } = {20^ \circ }\) .

Lại có: \(MN// AB\left( { \bot d} \right) \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat A = {20^ \circ }\) (đồng vị)

\( \Rightarrow \widehat {NCM} = \widehat {{M_1}} = {20^ \circ }\) nên \(\Delta MNC\) cân \( \Rightarrow MN = NC\)

\(\Delta IMN\) cân \( \Rightarrow \widehat {NCM} = \widehat {{M_1}} = {20^ \circ }\)

\(\Rightarrow \widehat {MNB} = {180^ \circ } - {20^ \circ } = {160^ \circ }\)

Mà \(\Delta IMN\) cân (MN = NB = NC) \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{M_2}} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - {{160}^ \circ }} }{2} = {10^ \circ }\)

Vậy \(\widehat {BMC} = \widehat {{M_2}} + \widehat {{M_1}} = {10^ \circ } + {20^ \circ } = {30^ \circ }.\)