Bài 9 trang 99 SGK Hình học 10

Cho elip \(\displaystyle (E)\) có phương trình: \(\displaystyle {{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\)

LG a

Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip \((E)\) và vẽ elip đó

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(a^2= 100 ⇒ a = 10\)

\(b^2= 36 ⇒ b = 6\)

\(c^2= a^2– b^2= 64 ⇒ c = 8\)

Từ đó ta được:

+) Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-10; 0), A_2(10; 0), B_1(0; -3), \) \(B_2(0;3)\)

+) Tọa độ các tiêu điểm: \( F_1(-8; 0), F_2(8; 0)\)

LG b

Qua  tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với \(Oy\) và cắt elip tại hai điểm \(M\) và \(N\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(F_2(8;0)\) và song song \(Oy\).

Khi đó \(d:x=8\)

\(\begin{array}{l}
M = d \cap \left( E \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{64}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{y^2}}}{{36}} = \dfrac{9}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
{y^2} = \dfrac{{324}}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
y = \pm \dfrac{{18}}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó có hai giao điểm của \(d\) với \((E)\) là \(M\left( {8;\dfrac{{18}}{5}} \right),N\left( {8; - \dfrac{{18}}{5}} \right)\)

\(MN = \sqrt {{{\left( {8 - 8} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{18}}{5} - \dfrac{{18}}{5}} \right)}^2}} \) \( = \dfrac{{36}}{5}\)

Cách khác:

Ta có: \(M \in \left( E \right)\) \( \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20\,\left( 1 \right)\)

\(MN//Oy \Rightarrow MN \bot {F_1}{F_2}\) \( \Rightarrow \Delta M{F_2}{F_2}\) vuông tại \({F_2}\)

Theo định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}MF_1^2 - MF_2^2 = {F_1}F_2^2 = {\left( {2c} \right)^2} = {16^2}\\ \Rightarrow \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = {16^2}\end{array}\)

Mà \(M{F_1} + M{F_2} = 20\) nên

\(\begin{array}{l}\left( {M{F_1} - M{F_2}} \right).20 = {16^2}\\ \Leftrightarrow M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{{{16}^2}}}{{20}} = \dfrac{{64}}{5}\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 20\\M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{64}}{5}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \dfrac{{82}}{5}\\M{F_2} = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN = 2M{F_2} = 2.\dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{36}}{5}\)