Bài 8 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng \(Δ :4x + 3y – 2 = 0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(d_1: x + y + 4 = 0\) và \(d_2: 7x – y + 4 = 0.\)

Lời giải chi tiết

\(\Delta \) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {3; - 4} \right)\) là VTCP của \(\Delta \).

Cho \(x = 2 \Rightarrow 4.2 + 3y - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow y =  - 2\) nên \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2} \right)\)

PTTS của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2 - 4t\end{array} \right.\).

Tâm \(I \in \Delta  \Rightarrow I\left( {2 + 3t; - 2 - 4t} \right)\).

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \({d_1},{d_2}\) \( \Leftrightarrow d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 + 3t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ = \dfrac{{\left| {7\left( {2 + 3t} \right) + 2 + 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4 - t} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {25t + 20} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {4 - t} \right| = \left| {5t + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - t = 5t + 4\\4 - t =  - 5t - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6t = 0\\4t =  - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 0\) thì \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = d\left( {I,{d_1}} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\)

Với \(t =  - 2\) thì \(I\left( { - 4;6} \right)\), bán kính \(R = d\left( {I,{d_1}} \right)\) \( = \dfrac{{\left| { - 4 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 18\)

Cách khác:

Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.

\( \Rightarrow \) Tâm \(I\) của đường tròn cần tìm là giao điểm của \(Δ\) với các đường phân giác của các góc tại bởi hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).

Ta viết phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \(d_1\) và \(d_2\) tạo thành.

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \(d_1,d_2\).

Khi đó 

\(\begin{array}{l}d\left( {M,{d_1}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| {7x - y + 4} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {7x - y + 4} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow 5\left| {x + y + 4} \right| = \left| {7x - y + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y + 4} \right) = 7x - y + 4\\5\left( {x + y + 4} \right) =  - 7x + y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + 5y + 20 = 7x - y + 4\\5x + 5y + 20 =  - 7x + y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y - 16 = 0\\12x + 4y + 24 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3y - 8 = 0\\3x + y + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) hai đường phân giác lần lượt là \({\Delta _1}:x - 3y - 8 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y + 6 = 0\).

TH1: \(I = \Delta  \cap {\Delta _1}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 8 = 0\\4x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2; - 2} \right)\)

Bán kính \(R = d\left( {I,{d_1}} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\)

TH2: \(I = \Delta  \cap {\Delta _2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y + 6 = 0\\4x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4;6} \right)\)

Bán kính \(R = d\left( {I,{d_1}} \right)\) \( = \dfrac{{\left| { - 4 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 18\).