Bài 7 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với \(H\) là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng \(AB, BH\) và \(AH\) lần lượt là: \(4x + y – 12 = 0, 5x – 4y – 15 = 0\) và \(2x + 2y – 9 = 0\)

Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Lời giải chi tiết

\(A = AH \cap AB\) nên tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{2}\\
y = 2
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A({5 \over 2},2)\)

\(BH : 5x – 4y – 15 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{BH}}}  = \left( {4;5} \right)\)

\(AC \bot BH \Rightarrow AC\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BH}}}  = \left( {4;5} \right)\) làm một vecto pháp tuyến.

Mà \(AC\) đi qua \(A({5 \over 2},2)\) nên \(AC:4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0 \)\(\Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\)

\(B = AB \cap BH\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 0
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B(3,0)\)

\(AH: 2x + 2y – 9 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AH}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là VTCP.

\(BC \bot AH\) nên nhận \(\overrightarrow {{u_{AH}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow BC:- 1(x - 3) + (y - 0) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)

\(H = BH \cap AH\) nên tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{11}}{3}\\
y = \dfrac{5}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{3};\dfrac{5}{6}} \right)\)

\(AB:4x + y - 12 = 0\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\) là VTCP của \(AB\).

\(CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}}  = \overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\) là VTPT của \(CH\).

Mà \(CH\) đi qua \(H\) nên:

\(CH:1\left( {x - \dfrac{{11}}{3}} \right) - 4\left( {y - \dfrac{5}{6}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 4y - \dfrac{1}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 12y - 1 = 0\)

Vậy: \(AC: 4x + 5y - 20 = 0\)

\(  BC:x - y - 3 = 0\)

\(CH: 3x - 12y - 1 = 0\)