Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho số thực a và dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

           \({u_1} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\)

Tìm \(\lim {u_n}.\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\)

Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:

\(\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)

Do đó \({u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\)  với mọi \(n \ge 3.\)

Vậy \(\lim {u_n} = 2.\)