Câu 4.59 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt {x + 3}  - 2} \over {x - 1}}\)      

Lời giải chi tiết:

\({1 \over 4};\)     

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} {{2 - \sqrt {x - 3} } \over {{x^2} - 49}}\)

Lời giải chi tiết:

\( - {1 \over {56}};\)       

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  - \sqrt {{x^2} + 2x - 6} } \over {{x^2} - 4x + 3}}\)       

Phương pháp giải:

 Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  + \sqrt {{x^2} + 2x - 6} \) và đơn giản phân thức nhận được, ta có

\({{\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  - \sqrt {{x^2} + 2x - 6} } \over {{x^2} - 4x + 3}} = {4 \over {1 - x}}.{1 \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  + \sqrt {{x^2} + 2x - 6} }}\) với \(x \ne 3.\)

Lời giải chi tiết:

\( - {1 \over 3}.\)

LG d

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{x - 3} \over {3 - \sqrt {6x - {x^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\({{x - 3} \over {3 - \sqrt {6x - {x^2}} }} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {3 + \sqrt {6x - {x^2}} } \right)} \over {9 - 6x + {x^2}}} = {{3 + \sqrt {6x - {x^2}} } \over {x - 3}}.\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {3 + \sqrt {6x - {x^2}} } \right) = 6 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3} \right) = 0\)  và \(x - 3 < 0\) với mọi \(x < 3\)  nên

                                    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{x - 3} \over {3 - \sqrt {6x - {x^2}} }} =  - \infty .\)

LG e

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {x + 2}  - 2} \over {\sqrt {x + 7}  - 3}}\)     

Lời giải chi tiết:

 Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 7}  + 3} \right),\) ta được

            \({{\sqrt {x + 2}  - 2} \over {\sqrt {x + 7}  - 3}} = {{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 7}  + 3} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}} = {{\sqrt {x + 7}  + 3} \over {\sqrt {x + 2}  + 2}}\) với \(x \ne 2.\)

Do đó

               \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {x + 2}  - 2} \over {\sqrt {x + 7}  - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {x + 7}  + 3} \over {\sqrt {x + 2}  + 2}} = {3 \over 2};\)

LG f

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {3{x^2} + x + 1}  - x\sqrt 3 } \right).\)

Lời giải chi tiết:

\({{\sqrt 3 } \over 6}.\)