Câu 4.57 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau (nếu có)

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{{x^3} + 8} \over {{x^2} + 11x + 18}}\)      

Lời giải chi tiết:

 \({{12} \over 7};\)

LG b

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{2{x^3} - 5{x^2} - 2x - 3} \over {4{x^3} - 13{x^2} + 4x - 3}}\)

Phương pháp giải:

\({{2{x^3} - 5{x^2} - 2x - 3} \over {4{x^3} - 13{x^2} + 4x - 3}} = {{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {4{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{2{x^2} + x + 1} \over {4{x^2} - x + 1}}\) với mọi \(x \ne 3\) ;

Lời giải chi tiết:

\({{11} \over {17}}.\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\left( {x + 3} \right)}^3} - 27} \over x}\)          

Phương pháp giải:

Với mọi \(x \ne 0\)

\({{{{\left( {x + 3} \right)}^3} - 27} \over x} = {{{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - 27} \over x} = {x^2} + 9x + 27.\)

Lời giải chi tiết:

 27

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {3{x^2} + {x^4}} } \over {2x}}\)

Lời giải chi tiết:

\({{\sqrt {3{x^2} + {x^4}} } \over {2x}} = {{\left| x \right|\sqrt {3 + {x^2}} } \over {2x}}.\)

Với \(x < 0,\) \({{\sqrt {3{x^2} + {x^4}} } \over {2x}} = {{ - x\sqrt {3 + {x^2}} } \over {2x}} = {{ - \sqrt {3 + {x^2}} } \over 2}.\) Do đó

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\sqrt {3{x^2} + {x^4}} } \over {2x}} =  - {{\sqrt 3 } \over 2}.\) Tương tự, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {3{x^2} + {x^4}} } \over {2x}} = {{\sqrt 3 } \over 2}.\)

Từ đó suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {3{x^2} + {x^4}} } \over {2x}};\)

LG e

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{x\left| {x + 2} \right|} \over {{x^2} + 3x + 2}}\)  

Lời giải chi tiết:

2;

LG f

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{1 \over {1 - x}} - {3 \over {1 - {x^3}}}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \ne 1,\)

\(\eqalign{
& {1 \over {1 - x}} - {3 \over {1 - {x^3}}} = {1 \over {1 - x}} - {3 \over {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{x^2} + x - 2} \over {\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{ - x - 2} \over {{x^2} + x + 1}}. \cr} \)

Do đó

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{1 \over {1 - x}} - {3 \over {1 - {x^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{ - x - 2} \over {{x^2} + x + 1}} =  - 1.\)