Câu 4 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình :

LG a

\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

LG b

\({\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi  \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi  \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow 8{\sin ^4}x - 6{\sin ^2}x + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{{\sin }^2}x = {1 \over 2}}  \cr   {{{\sin }^2}x = {1 \over 4}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 2}}  \cr   {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 4}}  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos 2x = 0}  \cr   {\cos 2x = {1 \over 2}}  \cr  } } \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\)

LG c

\(\cos x\cos 2x = \cos 3x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \cos x\cos 2x = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {3x = x + k2\pi }  \cr   {3x =  - x + k2\pi }  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = k\pi }  \cr   {x = k{\pi  \over 2}}  \cr  } } \right.\cr& \Leftrightarrow x = k{\pi  \over 2},k \in\mathbb Z \cr} \)

LG d

\(\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\cos 2x \ne0\)

Ta có: \(\tan 2x = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} \) \(\Rightarrow \sin 2x = \tan 2x\cos 2x\)

\(\eqalign{  & \tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0  \cr  & \Leftrightarrow \tan 2x - \tan 2x\cos 2x + \cos 2x - 1 = 0\cr &  \Leftrightarrow \tan 2x\left( {1 - \cos 2x} \right) - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {\tan 2x - 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\tan 2x = 1}  \cr   {\cos 2x = 1}  \cr  } } \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
2x = k2\pi
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\
x = k\pi
\end{array} \right.,k \in Z\)