Câu 25 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Một điểm M chuyển động trên parabol \(y =  - {x^2} + 17x - 66\) theo hướng tăng của x. Một người quan sát đứng ở vị trí P(2 ; 0)

Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M.

Lời giải chi tiết

Người quan sát thấy được điểm M nếu M thuộc phần parabol nằm trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến của parabol đi qua P(2 ; 0). Điều đó tương đương với bất đẳng thức kép x₁ ≤ m ≤ x₂; trong đó m là hoành độ của điểm M, x₁ và x₂ là hoành độ hai tiếp điểm. Ta cần xác định x₁ và x₂.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(2 ; 0) với hệ số góc bằng k là :

\(y = k(x – 2)\)

Để (d) là tiếp tuyến của parabol \(y =  - {x^2} + 17x - 66\) thì ta phải có :

\(\left\{ {\matrix{   { - {x^2} + 17x - 66 = k\left( {x - 2} \right)}  \cr   { - 2x + 17 = k}  \cr  } } \right.\)

Thế k=-2x+17 vào phương trình trên ta được:

\[\begin{array}{l}
- {x^2} + 17x - 66 = \left( { - 2x + 17} \right)\left( {x - 2} \right)\\
\Leftrightarrow - {x^2} + 17x - 66 = - 2{x^2} + 21x - 34\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 8\\
x = - 4
\end{array} \right.
\end{array}\]

(x=8 và x=-4 chính là hai hoành độ tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ P(2 ; 0) đến parabol đã cho).

Vậy người quan sát có thể nhìn được các điểm M thuộc parabol đã cho, nếu hoành độ điểm M thuộc đoạn [-4 ; 8].