Câu 3.6 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau:

LG a

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)                                     (1)

Với mọi \(n \ge 2,\) bằng phương pháp quy nạp

Với  \(n = 2,\) hiển nhiên ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\) Vì thế, (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) khi đó ta có

                                \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)                    (2)

Mà \(\sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) (dễ thấy), nên từ  (2) suy ra

                                \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \)

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra  (1) đúng với mọi \(n \ge 2\)

LG b

\(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n\)

Lời giải chi tiết:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp