Câu 3.5 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}{x_2}...{x_n} = 1\). Chứng minh rằng \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n.\)

Lời giải chi tiết

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với \(n = 1,\) theo giả thiết bài toán ta có \({x_1} = 1.\) Vì thế, ta có (1) đúng khi \(n = 1.\)

Với \(n = 2,\) xét hai số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện

\({x_1}{x_2} = 1.\)               (2)

Hiển nhiên, trong hai số \({x_1},{x_2}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_1} \le 1\) và \({x_2} \ge 1.\) Khi đó, ta có

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} \ge 1 + {x_1}{x_2} \ge 2\) (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) tức là giả sử với k số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) ta luôn có

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} \ge k\)

Xét \(k + 1\) số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} \ge k\)   (3)

Hơn nữa, dễ thấy trong \(k + 1\) số \({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_k} \le 1\) và \({x_{k + 1}} \ge 1.\) Khi đó ta có

\(\left( {1 - {x_k}} \right)\left( {{x_{k +1}} - 1} \right) \ge 0\) hay \({x_k} + {x_{k + 1}} \ge 1 + {x_k}{x_{k + 1}}\)    (4)

Từ (3) và (4) suy ra

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k} + {x_{k + 1}} \ge \)

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} + 1 \ge k + 1\)

Như thế, ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.