Bài 32 trang 10 SBT Hình Học 11 nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

 Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là một phép quay.

Lời giải chi tiết:

Giả sử cho hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) có trục a và b cắt nhau tại O, còn F là hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\).

Lấy hai điểm A, B khác O lần lượt nằm trên a, b sao cho góc AOB không bù và đặt \(\varphi  = \left( {OA,OB} \right).\)

(Chú ý rằng khi đó \(\left| \varphi  \right| = \widehat {AOB}\) là góc hợp bởi hai đường thẳng a và b).

Với mọi điểm M khác O, giả sử \({Đ_a}\) biến M thành \({M_1}\) và \({Đ_b}\) biến \({M_1}\) thành \({M_2}\). Khi đó, nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \(M{M_1}\) và \({M_1}{M_2}\) thì có:

\(OM = O{M_1} = O{M_2}\)

Và \(\left( {OM,O{M_2}} \right) = \left( {OM,O{M_1}} \right) + \left( {O{M_1},O{M_2}} \right)\)

\(\eqalign{
& = 2\left( {OH,O{M_1}} \right) + 2\left( {O{M_1},OK} \right) \cr 
& = 2\left( {OH,OK} \right) = 2\varphi \cr} \)

Vậy phép hợp thành F là phép quay tâm O góc quay \(2\varphi \)

LG b

Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng nhiều cách.

Lời giải chi tiết:

Giả sử Q là phép quay tâm O góc quay \(\varphi .\)

Ta lấy đường thẳng a nào đó đi qua O và b là ảnh của a qua phép quay tâm O góc quay \({\varphi  \over 2}\) thì hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) chính là phép quay Q (theo câu a).

Hiển nhiên có thể chọn a bằng nhiều cách khác nhau.

LG c

Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay.

Lời giải chi tiết:

Nếu F là hợp thành của 2n phép đối xứng có trục đối xứng đồng quy tại O thì F là hợp thành của n phép quay có tâm O và do đó F là một phép quay.

LG d

Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết:

Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục có các trục đều đi qua O.

Gọi \({Đ_a}\) là phép đối xứng đầu tiên, thì 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O.

Ta xem Q là hợp thành của hai phép đối xứng trục, trong đó phép thứ nhất là \({Đ_a}\) và phép thứ hai là \({Đ_b}\).

Như vậy, F là hợp thành của ba phép đối xứng trục: \({Đ_a}\), \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\).

Vậy F chính là phép đối xứng trục \({Đ_b}\).