Câu 31 trang 121 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm

LG a

\(\left\{ \matrix{
2x + 7 < 8x - 1 \hfill \cr 
- 2x + m + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Giải từng bất phương trình có trong hệ.

Hệ vô nghiệm nếu tập nghiệm của các bất phương trình đó giao nhau bằng rỗng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
2x + 7 < 8x - 1 \hfill \cr 
- 2x + m + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 8x < - 1 - 7\\
- 2x \ge - m - 5
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6x < - 8\\
2x \le m + 5
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > {4 \over 3} \hfill \cr 
x \le {{m + 5} \over 2} \hfill \cr} \right.\) 

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{m + 5} \over 2} \le {4 \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow 3m + 15 \le 8 \cr &\Leftrightarrow 3m \le - 7 \cr &\Leftrightarrow m \le - {7 \over 3} \cr} \)

LG b

\(\left\{ \matrix{
{(x - 3)^2} \ge {x^2} + 7x + 1 \hfill \cr 
2m - 5x \le 8 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(x - 3)^2} \ge {x^2} + 7x + 1 \hfill \cr 
2m - 5x \le 8 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 6x + 9 \ge {x^2} + 7x + 1 \hfill \cr 
-5x \le -2m + 8 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 13x \ge - 8\\5x \ge 2m - 8\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le {8 \over {13}} \hfill \cr x \ge {{2m - 8} \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hệ bất phương trình vô nghiệm:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{2m - 8} \over 5} > {8 \over {13}}\cr & \Leftrightarrow 26m - 104 > 40\cr& \Leftrightarrow 26m > 144 \cr 
& \Leftrightarrow m > {{72} \over {13}} \cr} \)