Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho \(\overrightarrow {IB}  = k\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow {J{\rm{A}}}  = k\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {K{\rm{A}}}  = k\overrightarrow {K{\rm{D}}} \) trong đó k là số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng:

a) MN ⊥ IJ và MN ⊥IK

b) AB ⊥ CD

Lời giải chi tiết

a) Từ

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IB}  = k\overrightarrow {IC}   \cr  & \overrightarrow {J{\rm{A}}}  = k\overrightarrow {JC}  \cr} \)

ta có IJ // AB.

Tương tự, ta có IK // CD.

Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và N là trung điểm của CD nên NA = NB.

Mặt khác MA = MB do đó MN ⊥ AB, suy ra MN ⊥ IJ.

Tương tự như trên, ta có MN ⊥ CD và IK // CD nên MN ⊥ JK.

b) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NB} \).

Từ giả thiết, ta có:

\(AN \bot C{\rm{D}}\) tức là \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\);

\(BN \bot C{\rm{D}}\) tức là \(\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = \left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NB} } \right).\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\)  tức là \(AB \bot C{\rm{D}}\) .