Bài 15 trang 7 SBT Hình Học 11 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.

Lời giải chi tiết

Trước hết, F không thể biến hai điểm phân biệt thành chính nó vì khi đó đường thẳng đi qua hai điểm đó phải biến thành chính nó, trái với giả thiết là F biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc.

Để chứng minh sự tồn tại của điểm biến thành chính nó, ta đã lấy một điểm A nào đó và gọi \({A_1} = F\left( A \right),\,{A_2} = F\left( {{A_1}} \right)\).

Nếu A trùng \({A_1}\) thì A là điểm biến thành chính nó, bởi vậy ta giả sử rằng A khác \({A_1}\).

Khi đó \({A_2}\) khác \({A_1}\) và đường thẳng \({A_1}{A_2}\) vuông góc với đường thẳng \(A{A_1}\). 

Đường thẳng của \(A{A_2}\) là đường thẳng d qua \({A_1}\), vuông góc với \(A{A_2}\).

Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) là đường thẳng d’ qua \({A_2}\), vuông góc với \({A_1}{A_2}\).

Vậy F biến \({A_2}\) thành giao điểm \({A_3}\) của d và d’.

Vì F là phép dời hình nên \(A{A_1}{A_2}{A_3}\) là hình vuông.

Trung điểm I của \(A{A_2}\) biến thành trung điểm của \({A_1}{A_3}\), tức là I biến thành chính nó qua F.

Vậy F có duy nhất điểm I biến thành chính nó.